Giới Hạn Của Hàm Số Lớp 11: Lý Thuyết, Công Thức, Bài Tập, Giới Hạn Của Hàm Số

Trong bài này sẽ ôn lại kiến thức cho các em về giới hạn của hàm số, giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực, các giới hạn đặc biệt và bài các bài toán tìm giới hạn

Các em cần nắm vững kiến thức lý thuyết về giới hạn của hàm số để vận dụng linh hoạt vào từng dạng toán cụ thể.

Đang xem: Giới hạn của hàm số

A. Tóm tắt lý thuyết về Giới hạn của hàm số

I. Giới hạn hữu hạn

1. Giới hạn đặc biệt

*

*

(c: hằng số)

2. Định lý

a) Nếu:  và 

*

 thì:

 

*

 

*

 

*

 

*

b) Nếu

*

 và  thì:

 

*

 và 

*

c) Nếu  thì 

*

II. Giới hạn vô cực. Giới hạn ở vô cực

1. Giới hạn đặc biệt

*

2. Định lý:

*

III. Giới hạn 1 bên

 

*

* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định: 

*

 thì phải tìm cách khử dạng vô định.

* Chú ý: Đối với các hàm lượng giác thì vận dụng tương tự với giới hạn khi x tiến tới vô cùng của sinx/x =1

*

* Ví dụ 1: Tính giới hạn:

*

* Bài tập áp dụng tìm giới hạn

¤ Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau

*

¤ Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau

*

 

*

* Ví dụ 2: Tính các giới hạn

*

* Bài tập áp dụng tìm giới hạn

¤ Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau

*

¤ Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau

*

 

*

 * Phương pháp: Áp dụng 2 quy tắc giới hạn vô cực (Quy tắc 1 & Quy tắc 2)

* Ví dụ 3: Tính giới hạn

*

* Bài tập áp dụng tìm giới hạn

¤ Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau:

*

Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau:

*

 

*

 * Phương pháp:

 – Nhóm các nhân tử chung: x – x0

 – Nhân thêm lượng liên hợp

 – Thêm, bớt số hạng vắng.

a)  với  là các đa thức và

 Ta phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn.

* Ví dụ 4: Tính giới hạn:

• 

*

 

*

b)  với  và  là các biểu thức chứa căn đồng bậc.

Xem thêm: Khi Nào Cần Điều Trị Lộ Tuyến Hoặc Nang Naboth Cổ Tử Cung Là Gì

– Ta sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử thức và mẫu thức.

* Ví dụ 5: Tính giới hạn:

• 

*

 

*

c)  với  và 

*

 là biểu thức chứa căn không đồng bậc.

 Giả sử: 

*

 với 

*

 Ta phân tích: 

*

* Ví dụ 6: Tìm giới hạn:

*

 

*
*

* Bài tập vận dụng tìm giới hạn

¤ Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau

*

¤ Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau

*

¤ Bài tập 3: Tìm các giới hạn sau

*

¤ Bài tập 4: Tìm các giới hạn sau

*

*

* Phương pháp: Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng trên

* Ví dụ 7: Tìm giới hạn sau:

*

* Bài tập vận dụng tìm giới hạn

¤ Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau

*

*

* Phương pháp: Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng trên

* Ví dụ 8: Tìm giới hạn sau:

*

 

*

* Bài tập áp dụng tìm giới hạn

¤ Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau

*

*

* Phương pháp:

_ Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x

_ Nếu P(x), Q(x) có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc nhân lượng liên hợp.

*

* Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau

*

* Bài tập áp dụng tìm giới hạn

¤ Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau

*

¤ Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau

*

*

* Phương pháp: Ta thường sử dụng nhân lượng liên hợp cả tử và mẫu

* Ví dụ 2: Tìm các giới hạn

a)

*

*

b)

*

 

*

 

*

* Bài tập vận dụng tìm giới hạn

¤ Bài tập 1: Tìm giới hạn sau

*

¤ Bài tập 2: Tìm giới hạn sau

*

*

* Phương pháp: Sử dụng tổng hợp các phương pháp trên

* Ví dụ 3: Tìm các giới hạn sau:

a)

*

 

*

b)

*

 

*

 

*

 Do: 

*

*

* Bài tập áp dụng tìm giới hạn

¤ Bài tập 1: Tìm giới hạn sau

*

¤ Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau

*

* Mối quan hệ giữa giới hạn một bên và giới hạn tại một điểm

 

*

  Sử dụng cách tính giới hạn của hàm số.

Xem thêm: Người Sinh Tháng Sáu Là Cung Gì ? Thuộc Mệnh Gì

* Ví dụ 1: Tìm giới hạn một bên của hàm số tại điểm được chỉ ra:

*

° Hướng dẫn:

*

* Ví dụ 2: Tìm giá trị của m để các hàm số sau có giới hạn tại điểm được chỉ ra:

*

° Hướng dẫn:

 

*

 

*

– Để hàm số có giới hạn tại x = 1 thì:

*

* Bài tập vận dụng

¤ Bài tập 1: Tìm các giới hạn một bên của hàm số tại điểm được chỉ ra

*

¤ Bài tập 2: Tìm giá trị của m để các hàm số sau có giới tại điểm được chỉ ra

*

Hy vọng với phần hướng dẫn chi tiết các dạng toán giới hạn hàm số, bài tập về giới hạn hàm số ở trên giúp các em hiểu rõ về cách tính giới hạn hàm số và vận dụng linh hoạt vào các bài toán, mọi thắc mắc các em hãy để lại bình luận dưới bài viết để được giải đáp nhé, chúc các em học tập tốt.

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: bài tập tổng hợp
READ:  Giáo Án Địa 11 Bài 6 : Hợp Chủng Quốc Hoa Kì, Bài 6: Hợp Chúng Quốc Hoa Kì (Tự Nhiên Và Dân Cư)