Lý Thuyết Đường Thẳng Vuông Góc Với Mặt Phẳng, Đường Thẳng Vuông Góc Với Mặt Phẳng

Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng (α) nếu d vuông góc với mọi đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (α).

Đang xem: đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Kí hiệu là d ⊥ (α).

2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Định lí:

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc vói mặt phẳng ấy.

Hệ quả:

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông góc với cạnh thứ ba của tam giác đó.

3. Tính chất

– Tính chất 1:

Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

– Tính chất 2:

Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Mặt phẳng vuông góc với AB tại trung điểm O của AB được gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.

4. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc cua đường thẳng và mặt phẳng

– Tính chất 1:

+ Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.

+ Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

– Tính chất 2: 

+ Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cùng vuông góc với mặt phẳng kia.

+ Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

– Tính chất 3:

+ Cho đường thẳng a và mặt phẳng (α) song song với nhau. Đường thẳng nào vuông góc với (α) thì cũng vuông góc với a.

+ Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng song song với nhau.

5. Phép chiếu vuông góc và định lí ba đường vuông góc

Định nghĩa

Phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương l vuông góc với mặt phẳng (P) gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P).

Định lí ba đường vuông góc

Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (α) và b là đường thẳng không thuộc (α) đồng thời không vuông góc với (α). Gọi b’ là hình chiếu vuông góc của b trên (α). Khi đó a vuông góc với b khi và chỉ khi a vuông góc với b’.

6. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Định nghĩa

Cho đường thẳng d và mặt phẳng (α).

Trường hợp đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) bằng

.

Trường hợp đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (α) thì góc giữa d và hình chiếu d’ của nó trên (α) gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α).

Chú ý:

Nếu (p là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) thì ta luôn có:

≤ φ ≤

 .

7. Phương pháp giải toán

Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Muốn chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P), ta chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nhau và a, b cùng nằm trong (P).

Chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng

Cách 1:

Muốn chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau, ta chứng minh đường thẳng này vuông góc với một mặt phẳng chứa đường thẳng kia.

Cách 2:

Dùng định lí ba đường vuông góc.

Xem thêm: Tại Sao Tài Khoản Wechat Bị Chặn Và Cách Bỏ Chặn Trên Wechat Bị Chặn?

B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP (SGK)

Bài 1 trang 104 sách giáo khoa Hình học 11

a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.

Bài 2 trang 104 sách giáo khoa Hình học 11

a) ∆ABC và BCD là hai tam giác cân, chung đáy BC và I là trung điểm của BC.

Bài 3 trang 104 sách giáo khoa Hình học 11

a) Vì SA = SB = SC = SD nên ∆SAC và ∆SBD cân tại S.

ABCD là hình thoi, O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD nên O là trung điểm của AC và BD.

Suy ra SO là trung tuyến đồng thời là đường cao của hai tam giác ∆SAC và ∆SBD.

Bài 4 trang 105 sách giáo khoa Hình học 11

a) Vì H là hình chiếu của o trên mp (ABC) nên OH ⊥ (ABC).

=> OH ⊥ BC (1)

Mà OA ⊥ OB và OA ⊥ OC nên OA ⊥ (OBC).

=> OA ⊥ BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra BC ⊥ (OAH).

AH ⊂(OAH) nên BC ⊥ AH.

Tương tự ta có AB ⊥ GH.

Vậy H là trực tâm tam giác ABC.

b) Trong mp (ABC), gọi E là giao điểm của AH và BC.

Do đó OH là đường cao của tam giác vuông OAE.

Mặt khác OE lại là đường cao của tam giác vuông OBC.

Nhận xét:

Biểu thức này là mở rộng của công thức tính độ dài đường cao ứng với cạnh huyền của tam giác vuông: 

Bài 5 trang 105 sách giáo khoa Hình học 11

a) Vì SA = SC, SB = SD nên ∆SAC và ∆SBD là hai tam giác cân tại S. Mà O là trung điểm của AC và BD.

=> SO vừa là trung tuyến vừa là đường cao của ∆SAC và ∆SBD.

=> SO ⊥ AC và SO ⊥ BD. 

Vậy SO ⊥ (ABCD) hay SO ⊥ (α).

b) 

Bài 6 trang 105 sách giáo khoa Hình học 11

a) Ta có: ABCD là hình thoi nên BD ⊥ AC.

SA ⊥ (ABCD) => SA ⊥ BD.

Mặt khác SC ⊂ (SAC) nên BD ⊥ SC.

b) Xét tam giác SBD, theo định lí Ta – lét đảo ta có:

Bài 7 trang 105 sách giáo khoa Hình học 11

Bài 8 trang 105 sách giáo khoa Hình học 11

a) Lấy một điếm N bất kì thuộc (α). SN là một đường xiên thứ hai còn HN là hình chiếu của SN.

Xét hai tam giác vuông SHM và SHN có SH chung:

Nếu SM = SN

=> ∆SHM = ∆SHN => HM = HN.

Ngược lại nếu HM = HN thì ∆SHM = ∆SHN => SM = SN.

Xem thêm: Bạn Muốn Xây Nhà Hãy Chú Ý Trung Cung Là Gì, Xác Định Trung Cung Nhà Ở

Xét hai tam giác vuông SHM và SHN có SH chung:

Nếu SN > SM thì:

 Chứng minh tương tự với chiều ngược lại.

Nếu HN > HM thì:

Như vậy đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn và ngược lại đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn.